approve と prove の違い
approve は「承認する」、prove は「証明する」。この2語は、ラテン語 probō「試して良しとする」から分かれた正真正銘の兄弟です（綴りの似た improve は別家系、というのが面白いところ）。
結論
approve 「承認する・良しとする」— approve of 〜 で「〜を良く思う」
prove 「証明する・判明する」— 試した結果を示す
試して「良し」と判を押せば approve、試して「真」と示せば prove。
比較表
| approve | prove | |
|---|---|---|
| 試した結果 | 良い／悪い の判定 | 真／偽 の判定 |
| よく使う形 | approve the plan計画を承認する approve of 〜〜を良く思う | prove that 〜〜だと証明する prove to be 〜〜だと判明する |
| 例文 | The board approved the budget.取締役会は予算を承認した。 | The results proved her theory.結果が彼女の理論を証明した。 |
語源でわかる違いと覚え方
共通の祖先はラテン語 probō「試す・良いと認める」（probus「実直な」から）。ad- が付いた approbō「良しとする」が approve に、素の probō が prove になりました。試す→合格判定が approve、試す→真偽判定が prove です。
ラテン語
probō
「試す・良いと認める」← probus（良い・実直な）
ラテン語
approbō
ad- +「良しとする」
古フランス語 → 中期英語
aprover → aproven
「承認する・証明する」
approve
承認する — 試して合格を出す
古英語・古フランス語
prōfian / prover
「試す・証明する」
prove
証明する — 試して真と示す
同族には probably（たぶん＝検証に耐えそう）、probable、proof（証拠）がいます。ちなみに improve（改善する）は綴りに prove を含むのに別家系（prōde「役に立つ」由来）— 兄弟の見分けは語源ツリーでないとできません。
覚え方
同じ「試す」から — 合格印が approve、真実の証が prove。
approval（承認）と proof（証拠）が2語の名詞形。
使い方と例文
approve の使い方
approve + 案・申請 — 承認する（他動詞）
- Your request has been approved.申請は承認されました。
approve of 〜 — 〜を良く思う（賛意）
- Her parents don't approve of the marriage.彼女の両親はその結婚を快く思っていない。
prove の使い方
prove that 〜 / prove to be — 証明する・判明する
- You'll have to prove your identity.本人確認（身元の証明）が必要です。
- The rumor proved to be false.その噂は誤りだと判明した。
The committee won't approve the drug until trials prove it safe.
治験が安全性を証明するまで、委員会はその薬を承認しない。
よくある間違い
×The manager proved my vacation request.
○The manager approved my vacation request.
申請の「承認」は approve。prove だと「証明した」ことになります。
理解度チェック
「経費申請が承認された」— The expense report was ___d.
（合格印。）
惜しい。正解は approve。申請・案件の承認は approve。
「身の潔白を証明する」— ___ one's innocence
（真実だと示す。）
惜しい。正解は prove。真偽の証明は prove。
よくある質問
Q. approve と approve of はどう違う？
approve ＋目的語は「正式に承認する」（権限者の決裁）、approve of 〜 は「個人として良く思う」（賛意）です。上司は your plan を approve し、親は your choice を approve of します。
同じ語源の仲間
probably（たぶん）も同じ「試す」家族 — 「検証に耐えそう」が語源的な意味です。