complimentary と free の違い
どちらも「無料の」ですが、free は「無料・自由」の万能語、complimentary は「（お店・主催者の好意で）無料進呈の」という、ややフォーマルで上品な語です。さらに complimentary には「賛辞の」という顔もあります。
結論
complimentary 「無料進呈の・招待の／賛辞の」— 好意で提供する、または褒める
free 「無料の・自由な」— 最も広く使う標準語
好意によるご提供が complimentary、一般の無料・自由が free。
比較表
| complimentary | free | |
|---|---|---|
| 含み | 好意・もてなし（＋褒める） | 中立（無料・自由） |
| よく使う形 | a complimentary breakfast無料の朝食（ご提供） be complimentary about 〜〜を褒める | for free無料で free of charge無料で |
| 例文 | Enjoy a complimentary drink.ウェルカムドリンクをどうぞ（無料進呈）。 | The app is free to download.そのアプリは無料でダウンロードできる。 |
語源でわかる違いと覚え方
complimentary は compliment「賛辞」から。compliment はラテン語 compleō「満たす」（complete の家族）に通じ、「礼儀を満たすこと」が原義でした。そこから「褒め言葉」、さらに「（もてなしとして）無料で差し上げる」へ。free はゲルマン系の本来語で「自由な・束縛のない」から「無料の」へ広がりました。
complimentary の「礼を尽くす」という出自が、「もてなしとしての無料」という上品な響きを生みました（ホテルの complimentary breakfast）。注意点として、compliment（賛辞）と complement（補完）は綴りが一字違いの別語（complete と completion のページ参照）。free は for free / free of charge のように口語からビジネスまで万能です。
覚え方
好意によるご提供が complimentary、一般の無料・自由が free。
compliment（賛辞）は complete の家族。complement（補完）と綴り注意。
使い方と例文
complimentary の使い方
complimentary + モノ — 無料進呈の（もてなし）
- complimentary tickets招待券
complimentary（賛辞の） — 褒める
- She was very complimentary about your work.彼女はあなたの仕事をとても褒めていた。
free の使い方
free / for free — 無料・自由
- Admission is free.入場は無料です。
The hotel offers a complimentary shuttle — it's completely free.
そのホテルは無料送迎を提供している。完全に無料だ。
よくある間違い
×a complimentary language（「無料の言語」？）
○文脈により complementary（補完的な）か complimentary（賛辞の）
complimentary（賛辞・無料進呈）と complementary（補完的な）は別語です。「補い合う」なら complementary（e）。
complementary と混ざっていない？
complementary（補完的な）は一字違いの別単語です。
complimentary は「賛辞の・無料進呈の」（compliment 賛辞）、complementary は「補い合う・補完的な」（complement 補完）。i と e の一字違い。「満たして完全にする」なら complementary（e）です。
理解度チェック
ホテルの「無料の朝食」（もてなし）— a ___ breakfast
（好意によるご提供。）
惜しい。正解は complimentary。もてなしの無料は complimentary（i）。complementary は「補完的な」。
よくある質問
Q. free と complimentary、案内文ではどちらが上品？
サービス業では complimentary が上品に響きます（complimentary Wi-Fi）。free はストレートで分かりやすい万能語。「無料」を丁寧に見せたいときは complimentary、率直に伝えたいときは free です。
同じ語源の仲間
compliment・complement は complete と同じ compleō「満たす」の家族。complete と completion のページに詳しく。