desperately

desperate（絶望的な・必死の）+ -ly（副詞を作る） で「必死に・どうしようもなく」。desperate の芯は「望みが尽きた」状態で、そこから「打つ手がないゆえに何でもやる」＝必死へ転じている。

背景の *speh₁-（栄える・うまくいく） は、うまく運ぶこと、つまり望みが叶う側の語。その「望み」が失われた状態が desperateと対で押さえると、prosper（栄える）が同じ流れにあることも腑に落ちる。

補足: 「必死に」だけでなく、desperately need（どうしても必要だ）・desperately ill（危篤である）のように強意の副詞としても頻出する。